Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊AB在x軸上，∠ABC=90°，AB=BC，OA=1，OB=4，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖①，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上位于x軸下方的一點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)P、Q分別向x軸作垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)D、E，記矩形DPQE的周長(zhǎng)為d，求d的最大值，并求出使d最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖②，點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上位于直線(xiàn)AC下方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AC于點(diǎn)F，連接MC，作MN∥BC交直線(xiàn)AC于點(diǎn)N，若MN將△MFC的面積分成2：3兩部分，請(qǐng)確定M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），（1，-4）

【解析】

試題分析：

（1）考查求解拋物線(xiàn)的能力，利用點(diǎn)在拋物線(xiàn)上代入即可得解，再求出頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）考查數(shù)形結(jié)合的能力，利用點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，設(shè)出P點(diǎn)，寫(xiě)出Q點(diǎn)，得出矩形DPQE的周長(zhǎng)為d關(guān)于所設(shè)變量的函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

（3）進(jìn)一步考查數(shù)形結(jié)合的能力，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥MN于H，過(guò)C作CG⊥MN于G，利用面積比的關(guān)系即可得解，注意解值的有意義.

試題解析：

（1）由已知得：A（-1，0）、C（4，5）

∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）C(4,5)

∴ 解得

∴拋物線(xiàn)解析式為

∵

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）

（2）由（1）知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1

設(shè)點(diǎn)P為（（t，），

∵P、Q為拋物線(xiàn)上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

∴

當(dāng)時(shí)，

∵

∴當(dāng)t=2使，d有最大值為10，即點(diǎn)P為（2，-3）

當(dāng)時(shí)，由拋物線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)性得，點(diǎn)P為（0，-3）時(shí)，d有最大值10

綜上，當(dāng)P為（0，-3）或（2，-3）時(shí)，d有最大值10

（3）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥MN于H，過(guò)C作CG⊥MN于G，則∠ANM=∠ACB=45°

∵MF⊥AC

∴ ∴

∵A(-1，0)，C(4，5）

∴直線(xiàn)AC解析式為y=x+1

設(shè)點(diǎn)M為（m，），其中，則CG=4－m

由MN∥BC得點(diǎn)N為（m，m+1）

∴

當(dāng)時(shí)，有3MN=4CG 即

解得： （舍去）

∴點(diǎn)M為

當(dāng)時(shí)，有2MN=6CG 即

解得： （舍去）

∴點(diǎn)M為（2，-3）

∴ 綜上，當(dāng)M為、（2，-3）