Question

11．如圖，等邊△ABC，D、E分別在AB、AC邊上，且AD=CE，G為DE中點(diǎn)，F(xiàn)G⊥DE交BC于F，求證：CF=AE．

Answer 1

分析 在BC上截取CM=AE，即可證明△ADE≌△CED，然后證明△BDM≌△△CME，則DM=DE，即M在DE的垂直平分線上，然后根據(jù)FG是DE的垂直平分線，即可證明M和F重合，即可證得．

解答 證明：在BC上截取CM=AE．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠C=60°，
在△ADE和△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠C}\\{AE=CM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CEM，
∴AD=BM．
又∵等邊△ABC中，AB=BC，
∴BD=CM，
同理可證△BDM≌△△CME，
∴DM=ME，
∴M在DE的垂直平分線上．
又∵G為DE中點(diǎn)，F(xiàn)G⊥DE交BC于F，即FG是線段DE的垂直平分線，
∴F和M重合，
∴CF=AE．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及線段的垂直平分線的性質(zhì)，理解同一法證明的思路是本題的關(guān)鍵．