Question

已知：關于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0．
（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根x₁，x₂滿足，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明方程總有兩個不相等的實數根就是證明其判別式永遠都是一個正數；
（2）首先根據一元二次方程的求根公式求出方程的兩個根，然后可以求出|x₁-x₂|=3，再利用已知條件即可得到關于m的方程，解方程即可解決問題．
解答：（1）證明：∵△=[-（2m+1）]²-4（m²+m-2）=4m²+4m+1-4m²-4m+8=9＞0
∴不論m取何值，方程總有兩個不相等實數根；

解：（2）由原方程可得x=
∴x₁=m+2．x₂=m-1，
∴|x₁-x₂|=3，
又∵，
∴，
∴m=4
經檢驗：m=4符合題意．
∴m的值為4．
點評：此題有一定的綜合性，主要考查了一元二次方程根的判別式的應用，利用求根公式正確求得方程的根是解題關鍵．