Question

18．如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC的中點，BD平分∠ABC，求$\frac{OC}{OD}$的值．

Answer 1

分析 延長DE交AB于F，由平行四邊形的性質和已知條件得出CB∥DE，CB=DE，∠CBD=∠DBF=∠BDE=45°，得出∠DFB=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質得出BE=EC=EA，由平行線的性質得出F為AB的中點，由三角形中位線定理得出EF=$\frac{1}{2}$CB，設EF=m，則CB=2m，DE=2m，DF=3m，F(xiàn)B=3m，由勾股定理求出DB，得出DO，CO，即可得出結果．

解答 解：延長DE交AB于F，如圖所示：
∵∠ABC=90°，四邊形ABCD是平行四邊形，BD平分∠ABC，
∴CB∥DE，CB=DE，∠CBD=∠DBF=∠BDE=45°，
∴∠DFB=90°，
∵E為AC的中點，
∴BE=EC=EA，
∵EF∥CB，
∴F為AB的中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$CB，
設EF=m，則CB=2m，DE=2m，DF=3m，F(xiàn)B=3m，
∴DB=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=3$\sqrt{2}$m，
∴DO=$\frac{1}{2}$DB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$m，
∴CO=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{m}^{2}+9{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$m，
∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}m}{\frac{3\sqrt{2}}{2}m}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質、三角形中位線定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質，由勾股定理求出DB是解決問題的關鍵．