Question

如圖，點C是以AB為直徑的⊙O上的一點，BD與過點C的切線互相垂直，垂足為點D．
（1）求證：BC平分∠DBA；
（2）若CD=6，BC=10，求⊙O的半徑長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，求出OC∥BD，推出∠CBA=∠DBC，根據(jù)角平分線定義得出即可；
（2）連接AC，根據(jù)勾股定理求出BD，證△ACB∽△CDB，得出比例式，代入后求出AB即可．

解答：（1）證明：連接OC，
∵CD是⊙O的切線，C為切點，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥DC，
∴OC∥BD，
∴∠DBC=∠BCO，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠DBC=∠CBO，
即BC平分∠DBA；

（2）解：連接AC，
在Rt△CBD中，BD=

102-62

=8，
∵AB為直徑，C在圓上，
∴∠ACB=90°，
∴∠BDC=∠BCA，
∵∠DBC=∠ABC，
∴△ABC∽△CBD，
∴

BC

BD

=

AB

BC

，
∴

10

8

=

AB

10

，
∴AB=

25

2

，
即⊙O的半徑為

25

4

．

點評：本題考查了勾股定理，切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．