Question

16．如圖，⊙O的直徑為5，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，CD⊥AB于D，AC=2$\sqrt{6}$，求sin∠BCD的值．

Answer 1

分析 連接OA、OC，由于OM⊥AC，根據(jù)垂徑定理易證得∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC，而由圓周角定理可得∠CBD=$\frac{1}{2}$∠AOC=∠COM，因此∠BCD=∠OCM，只需求得∠OCM的正弦值即可；在Rt△OCM中，由垂徑定理可得CM，由勾股定理可求得OM，即可求出∠OCM，即∠BCD的正弦值，由此得解．

解答 解：連接OA、OC，作OM⊥AC，

∵OM⊥AC，
∴AM=CM=$\sqrt{6}$，∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∵∠CBD=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠CBD=∠COM，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=∠OCM，
在Rt△OCM中，OC=$\frac{5}{2}$，
OM=$\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（{\sqrt{6}）}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴sin∠OCM=sin∠BCD=$\frac{OM}{OC}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{1}{5}$，
故答案為$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理的綜合應(yīng)用能力，能夠根據(jù)已知條件找到∠BCD=∠OCM，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．