Question

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長(zhǎng)邊，當(dāng)a²+b²=c²時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)a²+b²≠c²時(shí)，利用代數(shù)式a²+b²和c²的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）．
（1）當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，△ABC為

 

三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，△ABC為

 

三角形．
（2）猜想，當(dāng)a²+b²

 

c²時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a²+b²

 

c²時(shí)，△ABC為鈍角三角形．
（3）試證明（2）中猜想的正確性．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理的逆定理

專題：

分析：（1）利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時(shí)的斜邊的值，然后作出判斷即可；
（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算作出判斷即可；
（3）若△ABC是銳角三角形，則有a²+b²＞c²；理由：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)CD為x，則有BD=a-x．根據(jù)勾股定理，得a²+b²=c²+2ax，從而可證；
當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，a²+b²＜c²；理由：過(guò)B作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于D．設(shè)CD為x，則有BD²=a²-x²，根據(jù)勾股定理，得a²+b²+2bx=c²，從而可證．

解答：解：（1）∵兩直角邊分別為6、8時(shí)，斜邊=

62+82

=10，
∴△ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，△ABC為銳角三角形；
當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，△ABC為鈍角三角形；
故答案為：銳角；鈍角；

（2）當(dāng)a²+b²＞c²時(shí)，△ABC為銳角三角形；
當(dāng)a²+b²＜c²時(shí)，△ABC為鈍角三角形；
故答案為：＞；＜；

（3）若△ABC是銳角三角形，則有a²+b²＞c²；
理由：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)CD為x，

則有BD=a-x．
根據(jù)勾股定理，得b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，
即b²-x²=c²-a²+2ax-x²．
則a²+b²=c²+2ax．
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0；
∴a²+b²＞c²．
當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，a²+b²＜c²；
理由：過(guò)B作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于D．

設(shè)CD為x，則有BD²=a²-x²，
根據(jù)勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²，即a²+b²+2bx=c²．
∵b＞0，x＞0，
∴2bx＞0，
∴a²+b²＜c²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂題目信息，理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時(shí)的三條邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．