Question

16．已知：關(guān)于x的一元二次方程x²-（m-1）x+m+2=0
（1）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的值；
（2）若Rt△ABC中，∠C=90°，tanA的值恰為（1）中方程的根，求cosB的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知得出b²-4ac=[-（m-1）]²-4（m+2）=0，求出即可；
（3）先利用求根公式得出（1）中方程的根，即tanA的值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出cosB的值．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²-（m-1）x+m+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=0，
即=[-（m-1）]²-4（m+2）=0，
解得：m=7或m=-1，
∴m的值為7或-1；

（2）∵（1）中方程的根為x=$\frac{m-1}{2}$，tanA＞0，
∴m=7，x=3，即tanA=3=$\frac{a}$，
∴a=3b，
∵∠A+∠B=90°，
∴cosB=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{3b}{\sqrt{10}b}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
同時(shí)考查了銳角三角函數(shù)定義．