Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線BD⊥BC，G為BD延長線上一點且△ABG為等邊三角形，∠BAD、∠CBD的平分線相交于點E，連接AE交BD于F，連接GE，求證：AE=BE+GE．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：在AE上取一點Q，使EQ=BE，連接BQ，由AE，BE平分∠BAD、∠DBC，求出∠BAE與∠DBE的度數(shù)，利用內(nèi)角和定理求出∠AEB=60°，由EQ=BE，得到三角形BQE為等邊三角形，得到BE=BQ，∠QBE=60°，得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABQ與三角形GBE全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AQ=GE，等量代換即可得證．

解答：證明：在AE上取一點Q，使EQ=BE，連接BQ，
∵AE、BE分別平分∠BAD、∠DBC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAD=15°，∠DBE=

1

2

∠DBC=45°，
∴∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，
∴∠AEB=60°，
∵EQ=BE，
∴△BQE為等邊三角形，
∴BE=BQ，∠QBE=60°，
∴∠ABD=∠QBE=60°，
∴∠ABQ=∠FBE，
在△ABQ和△GBE中，

AB=BQ ∠ABQ=∠FBE BQ=BE

，
∴△ABQ≌△GBE（SAS），
∴AQ=GE，
∴AE=BE+GE．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解平行四邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵．