Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，E為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AD，與AC,DC分別交于點(diǎn)G，F(xiàn)，H為CG的中點(diǎn)，連接DE，EH，DH，F(xiàn)H．下列結(jié)論中結(jié)論正確的有（ ）
①EG=DF；
②∠AEH+∠ADH=180°；
③△EHF≌△DHC；
④若 = ，則S△EDH=13S△CFH ．

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，

∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，

∴△CFG為等腰直角三角形，

∴GF=FC，

∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，

∴EG=DF，

故①正確；

②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，

∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，

，

∴△EHF≌△DHC（SAS），

∴∠HEF=∠HDC，

∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，

故②正確；

③由②知：△EHF≌△DHC，

故③正確；

④∵ = ，

∴AE=2BE，

∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，

∴FH=GH，∠FHG=90°，

∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，

在△EGH和△DFH中，

，

∴△EGH≌△DFH（SAS），

∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，

∴△EHD為等腰直角三角形，

過H點(diǎn)作HM垂直于CD于M點(diǎn)，如圖所示：

設(shè)HM=x，則CF=2x，

∴DF=2FC=4x，

∴DM=5x，DH= x，CD=6x，

則S△CFH= ×HM×CF= x2x=x2，S△EDH= ×DH2= × =13x2，

∴則S△EDH=13S△CFH，故④正確；

其中結(jié)論正確的有：①②③④，4個(gè)；
故D符合題意.

所以答案是：D．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．