Question

17．在?ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，BM=1，BN=2，∠MBN=60°，求BC的長．

Answer 1

分析 如圖延長DM交CB的延長線于H，作MK⊥AD于K，先證明△AMB≌△DMH，得BH=BN，△HBN是等邊三角形，可以求出AB=DH=$\frac{4}{3}$，在RT△BNK和RT△AKM中利用勾股定理即可解決．

解答 解：如圖延長DM交CB的延長線于H，作MK⊥AD于K．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，CD∥AB，AD=BC，AB=CD，
∴∠A=∠HDM，
在△AMD和△BMH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠HDM}\\{AM=DM}\\{∠AMB=∠HMD}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△DMH，
∴AB=DH，BM=MH=2，
∵BN=2，∠HBN=60°，
∴BH=BN，
∴△BHN是等邊三角形，
∴HN=2，∵BN=NC=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$NH，∠H=∠ABM=60°，
∴AB=DH=$\frac{4}{3}$，
在RT△MKB中，∵∠MKB=90°，MB=1，∠MBK=60°，
∴BK=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$，KM=$\sqrt{3}$BK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AK=AB-BK=$\frac{5}{6}$，
∴AM=$\sqrt{A{K}^{2}+K{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{6}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
∴BC=AD=2AM=$\frac{\sqrt{13}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，得出△BNH是等邊三角形這個突破口，屬于中考常考題型．