Question

（2013•倉山區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A的平分線交BC于點D，若點P、Q分別是AC和AD上的動點，則CQ+PQ的最小值是

2

2

．

Answer 1

分析：兩點之間線段最短，所以當(dāng)點C、P、Q三點共線時，CQ+PQ的最小．如圖，作點P關(guān)于直線AD的對稱點P′，連接BP′，則直線BP′與直線AD的交點即為所求的Q點．

解答：解：如圖，作點P關(guān)于直線AD的對稱點P′，連接BP′交AD于點Q，則CQ+PQ=CQ+P′Q=CP′．
∵根據(jù)對稱的性質(zhì)知△APQ≌△AP′Q，
∴∠PAQ=∠P′AQ．
又∵AD是∠A的平分線，點P在AC邊上，點Q在直線AD上，
∴∠PAQ=∠BAQ，
∴∠P′AQ=∠BAQ，
∴點P′在邊AB上．
∵當(dāng)CP′⊥AB時，線段CP′最短．
∵在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，
∴AB

CB2+CA2

=4

2

，且當(dāng)點P′是斜邊AB的中點時，CP′⊥AB，
此時CP′=

1

2

AB=2

2

，即CQ+PQ的最小值是2

2

．
故填：2

2

．

點評：本題考查了軸對稱--最短路線問題．此題屬于易錯題，學(xué)生們在解題時往往沒有先證明點P′在邊AB上，而直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)來求CP′線段的長度．