Question

（2013•義烏市）小明合作學習小組在探究旋轉、平移變換．如圖△ABC，DEF均為等腰直角三角形，各頂點坐標分別為A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（

2

，0），E（2

2

，0），F(xiàn)（

3 2

2

，-

2

2

）．
（1）他們將△ABC繞C點按順時針方向旋轉45°得到△A₁B₁C₁．請你寫出點A₁，B₁的坐標，并判斷A₁C和DF的位置關系；
（2）他們將△ABC繞原點按順時針方向旋轉45°，發(fā)現(xiàn)旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線y=2

2

x²+bx+c上，請你求出符合條件的拋物線解析式；
（3）他們繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)將△ABC繞某個點旋轉45°，若旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線y=x²上，則可求出旋轉后三角形的直角頂點P的坐標，請你直接寫出點P的所有坐標．

Answer 1

分析：（1）由旋轉性質及等腰直角三角形邊角關系求解；
（2）首先明確△ABC繞原點按順時針方向旋轉45°后的三角形即為△DEF，然后分三種情況進行討論，分別計算求解；
（3）旋轉方向有順時針、逆時針兩種可能，落在拋物線上的點有點A和點B、點B和點C、點C和點D三種可能，因此共有六種可能的情形，需要分類討論，避免漏解．

解答：解：（1）A₁（2-

2

2

，1+

2

2

），B₁（2+

2

2

，1+

2

2

）．
A₁C和DF的位置關系是平行．

（2）∵△ABC繞原點按順時針方向旋轉45°后的三角形即為△DEF，
∴①當拋物線經過點D、E時，根據(jù)題意可得：

2 2 ×( 2 )2+ 2 b+c=0 2 2 ×(2 2 )2+2 2 b+c=0

，
解得

b=-12 c=8 2

∴y=2

2

x²-12x+8

2

；
②當拋物線經過點D、F時，根據(jù)題意可得：

2 2 ×( 2 )2+ 2 b+c=0 2 2 ×( 3 2 2 )2+ 3 2 2 b+c=- 2 2

，
解得

b=-11 c=7 2

∴y=2

2

x²-11x+7

2

；
③當拋物線經過點E、F時，根據(jù)題意可得：

2 2 ×(2 2 )2+2 2 b+c=0 2 2 ×( 3 2 2 )2+ 3 2 2 b+c=- 2 2

，
解得

b=-13 c=10 2

∴y=2

2

x²-13x+10

2

．

（3）在旋轉過程中，可能有以下情形：

①順時針旋轉45°，點A、B落在拋物線上，如答圖1所示：
易求得點P坐標為（0，

1- 2

2

）；
②順時針旋轉45°，點B、C落在拋物線上，如答圖2所示：
設點B′，C′的橫坐標分別為x₁，x₂．
易知此時B′C′與一、三象限角平分線平行，∴設直線B′C′的解析式為y=x+b，
聯(lián)立y=x²與y=x+b得：x²=x+b，即x²-x-b=0，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-b．
∵B′C′=1，∴根據(jù)題意易得：|x₁-x₂|=

2

2

，
∴（x₁-x₂）²=

1

2

，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

1

2

∴1+4b=

1

2

，解得b=-

1

8

．
∴x²-x+

1

8

=0，解得x=

2+ 2

4

或x=

2- 2

4

．
∵點C′的橫坐標較小，∴x=

2- 2

4

．
當x=

2- 2

4

時，y=x²=

3-2 2

8

，
∴P（

2- 2

4

，

3-2 2

8

）；
③順時針旋轉45°，點C、A落在拋物線上，如答圖3所示：
設點C′，A′的橫坐標分別為x₁，x₂．
易知此時C′A′與二、四象限角平分線平行，∴設直線C′A′的解析式為y=-x+b，
聯(lián)立y=x²與y=-x+b得：x²=-x+b，即x²+x-b=0，
∴x₁+x₂=-1，x₁x₂=-b．
∵C′A′=1，∴根據(jù)題意易得：|x₁-x₂|=

2

2

，
∴（x₁-x₂）²=

1

2

，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

1

2

∴1+4b=

1

2

，解得b=-

1

8

．
∴x²+x+

1

8

=0，解得x=

2 -2

4

或x=

- 2 -2

4

．
∵點C′的橫坐標較大，∴x=

2 -2

4

．
當x=

2 -2

4

時，y=x²=

3-2 2

8

，
∴P（

2 -2

4

，

3-2 2

8

）；

④逆時針旋轉45°，點A、B落在拋物線上．
因為逆時針旋轉45°后，直線A′B′與y軸平行，因為與拋物線最多只能有一個交點，故此種情形不存在；
⑤逆時針旋轉45°，點B、C落在拋物線上，如答圖4所示：
與③同理，可求得：P（

2 -2

4

，

3-2 2

8

）；
⑥逆時針旋轉45°，點C、A落在拋物線上，如答圖5所示：
與②同理，可求得：P（

2+ 2

4

，

3+2 2

8

）．
綜上所述，點P的坐標為：（0，

1- 2

2

），（

2- 2

4

，

3-2 2

8

），（

2 -2

4

，

3-2 2

8

），（

2+ 2

4

，

3+2 2

8

）．

點評：本題考查了旋轉變換與二次函數(shù)的綜合題型，難度較大．第（3）問是本題難點所在，解題關鍵是：第一，旋轉方向有兩種可能，落在拋物線上的點有三種可能，因此共有六種可能的情形，需要分類討論；第二，針對每一種可能的情形，按照旋轉方向與旋轉角度，確定圖形形狀并進行計算．