Question

    如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數 (為常數)的圖象與x軸交于點A(，0)，與y軸交于點C．以直線x=1為對稱軸的拋物線  ( 為常數，且≠0)經過A，C兩點，并與x軸的正半軸交于點B．

   （1）求的值及拋物線的函數表達式；

   （2）設E是y軸右側拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F．是否存在這樣的點E，使得以A，C，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標及相應的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；

  （3）若P是拋物線對稱軸上使△ACP的周長取得最小值的點，過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于 ，兩點，試探究 是否為定值，并寫出探究過程．

 

Answer 1

【答案】

（1）m=,

(2).

(3)定值1

【解析】（1）首先求得m的值和直線的解析式，根據拋物線對稱性得到B點坐標，根據A、B點坐標利用交點式求得拋物線的解析式；

（2）存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．過點E作EG⊥x軸于點G，構造全等三角形，利用全等三角形和平行四邊形的性質求得E點坐標和平行四邊形的面積．注意：符合要求的E點有兩個，不要漏解；

（3）本問較為復雜，分幾個步驟解決：

第1步：確定何時△ACP的周長最�。�利用軸對稱的性質和兩點之間線段最短的原理解決；

第2步：確定P點坐標P（1，3），從而直線M₁M₂的解析式可以表示為y=kx+3-k；

第3步：利用根與系數關系求得M₁、M₂兩點坐標間的關系，得到x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3．這一步是為了后續(xù)的復雜計算做準備；

第4步：利用兩點間的距離公式，分別求得線段M₁M₂、M₁P和M₂P的長度，相互比較即可得到結論：M₁P•M₂P/M₁M₂ =1為定值．這一步涉及大量的運算，注意不要出錯，否則難以得出最后的結論