Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，直線CD與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C，D，AB與CD相交于點(diǎn)E，線段OA，OC的長(zhǎng)是一元二次方程x2﹣18x+72=0的兩根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．

（1）求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；

（2）若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，求k的值；

（3）若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使以點(diǎn)C，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)寫出滿足條件的點(diǎn)Q的個(gè)數(shù)，并直接寫出位于x軸下方的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

（1）A（12，0），C（﹣6，0）；

（2）k=36；

（3）滿足條件的點(diǎn)Q的個(gè)數(shù)是6，x軸的下方的Q4（10，﹣12），Q6（﹣3，6﹣3）；

【解析】

試題分析：（1）先求出一元二次方程x2﹣18x+72=0的兩根就可以求出OA，OC的值，進(jìn)而求出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；

（2）先由勾股定理求出AB的值，得出AE的值，如圖1，作EM⊥x軸于點(diǎn)M，由相似三角形的現(xiàn)在就可以求出EM的值，AM的值，就可以求出E的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出結(jié)論；

（3）如圖2，分別過(guò)C、E作CE的垂線交坐標(biāo)軸三個(gè)點(diǎn)P1、P3、P4，可作出三個(gè)Q點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作x軸的垂線與x軸交與P2，即可作出Q2，以CE為直徑作圓交于y軸兩個(gè)點(diǎn)P5、P6，使PC⊥PE，即可作出Q5、Q6．

試題解析：（1）∵x2﹣18x+72=0

∴x1=6，x2=12．

∵OA＞OC，

∴OA=12，OC=6．

∴A（12，0），C（﹣6，0）；

（2）∵tan∠ABO=，

∴=，

∴，

∴OB=16．

在Rt△AOB中，由勾股定理，得

AB=．

∵BE=5，

∴AE=15．

如圖1，作EM⊥x軸于點(diǎn)M，

∴EM∥OB．

∴△AEM∽△ABO，

∴，

∴，

∴EM=12，AM=9，

∴OM=12﹣9=3．

∴E（3，12）．

∴k=3×12=36；

（3）滿足條件的點(diǎn)Q的個(gè)數(shù)是6，如圖2所示，

x軸的下方的Q4（10，﹣12），Q6（﹣3，6﹣3）；

考點(diǎn)：1、一次函數(shù)的交點(diǎn)；2、勾股定理的運(yùn)用；3、三角函數(shù)；4、三角形相似