Question

3．將一根長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，設(shè)其中一段鐵絲長為4x cm，兩個正方形的面積和為y cm²
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）要使這兩個正方形面積之和為17cm²，那么這根鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？
（3）要使這兩個正方形面積之和最小，則這根鐵絲剪成兩段后的長度各是多少？這兩個正方形面積之和最小為多少？

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設(shè)其中一段長為4xcm，則另一段長為20-4xcm，根據(jù)正方形面積和周長的轉(zhuǎn)化關(guān)系“正方形的面積=$\frac{1}{16}$×周長×周長”列出面積的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)y=17時，列方程即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得最值．

解答 解：（1）設(shè)一段鐵絲的長度為4x，另一段為（20-4x），則邊長分別為x，$\frac{1}{4}$（20-4x）=5-x，
則y=x²+（5-x）（5-x）=2x²-10x+25； 
（2）1當(dāng)y=17時，
即2x²-10x+25=17，
解得：x=1，或x=4，
故這根鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm，16cm．
（3）∵y=2x²-10x+25=2（x-$\frac{5}{2}$）²+12.5，
∴剪成兩段均為10cm的長度時面積之和最小，最小面積和為12.5cm²．

點評 本題考查了二次函數(shù)的最值，正方形的性質(zhì)，列出關(guān)系式并整理成頂點式形式是解題的關(guān)鍵．