Question

如果有兩點到一條直線的距離相等，那么稱這條直線為 “兩點的等距線”．

圖1

（1）如圖1，直線CD經(jīng)過線段AB的中點P,試說明直線CD是點A、B的一條等距線．

（2）如圖2，A、B、C是正方形網(wǎng)格中的三個格點,請在網(wǎng)格中作出所有的直線m，使直線m過點C且直線m是“A、B的等距線”．

（3）如圖3，拋物線過點（，），（3，），頂點為C．拋物線上是否存在點P ,使，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）見解析；（2）圖形詳見解析；（3）存在點P（，-） 或（-2，- )使S_△APC=S_△BPC．

【解析】（1）分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足為E,F

∴∠AEP=∠BFP=90°∵P是AB中點， ∴AP=BP又∵∠APE=∠BPF∴△AEP≌△AFP

∴AE=BF,即直線CD是點A、B的一條等距線．

（2）如圖，直線m₁、m₂就是所有的直線

（3）由題意知，得，∴拋物線為y=-x²+x-

∵S_△APC=S_△BPC．，∴A、B兩點到直線PC的距離相等

①當PC∥AB時，計算得直線AB解析式為y=x-，直線CP解析式為y=x-

解,得x₁=，x₂=；∴點P（，-）；

②當直線CP過AB中點時，易求AB中點E（2，-），直線CE解析式為y=x-10,

解,得x₁=2，x₂=；；∴點P(-2,-)

綜上所述存在點P（，-） 或（-2，- )  使S_△APC=S_△BPC．