Question

已知a₁，a₂，…，a₂₀₀₂的值都是1或-1，設(shè)m是這2002個數(shù)的兩兩乘積之和．
（1）求m的最大值和最小值，并指出能達到最大值、最小值的條件；
（2）求m的最小正值，并指出能達到最小正值的條件．

Answer 1

（1）（a₁+a₂+…+a₂₀₀₂）²=a₁²+a₂²+…+a₂₀₀₂²+2m=2002+2m，
m=

(a1+a2+…+a2002)2-2002

2

．
當a₁=a₂=…=a₂₀₀₂=1或-1時，m取最大值2003001．
當a₁，a₂，a₂₀₀₂中恰有1001個1，1001個-1時，m取最小值-1001．
（2）因為大于2002的最小完全平方數(shù)為45²=2025，且a₁+a₂+…+a₂₀₀₂必為偶數(shù)，
所以，當a₁+a₂+…+a₂₀₀₂=46或-46；
即a₁，a₂，a₂₀₀₂中恰有1024個1，978個-1或恰有1024個-1，978個1時，
m取最小值

1

2

(462-2002)=57．