Question

6．如圖，底角為α的等腰△ABC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)，使得點A與邊BC上的點D重合，點C與點E重合，聯(lián)結(jié)AD、CE．已知tanα=$\frac{3}{4}$，AB=5，則CE=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 如圖，作AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，則BH=CH，先利用三角形函數(shù)的定義和勾股定理可計算出BH=4，則BC=2BH=8，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CBE=α，BE=BC=8，接著在Rt△BEF中利用三角函數(shù)的定義可計算出EF和BF，然后在Rt△CEF中利用勾股定理計算CE．

解答 解：如圖，作AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，則BH=CH，
在Rt△ABH中，tan∠ABH=tanα=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{3}{4}$，
設(shè)AH=3t，則BH=4t，
∴AB=$\sqrt{（3t）^{2}+（4t）^{2}}$=5t，
∴5t=5，解得t=1，
∴BC=2BH=8，
∵等腰△ABC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)，使得點A與邊BC上的點D重合，
∴∠CBE=α，BE=BC=8，
在Rt△BEF中，tan∠EAF=tanα=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
設(shè)AH=3x，則BH=4x，BE=5x，
∴5x=8，解得x=$\frac{8}{5}$，
∴EF=$\frac{24}{5}$，BF=$\frac{32}{5}$，
∴CF=8-$\frac{32}{5}$=$\frac{8}{5}$，
在Rt△CEF中，CE=$\sqrt{（\frac{8}{5}）^{2}+（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．
故答案為$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵作EF⊥BC構(gòu)建直角三角形．