Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，弦CE交AB于點D，連結(jié)OE、AC，已知∠POE＝2∠CAB，∠P＝∠E．

(1)求證：CE⊥AB；

(2)求證：PC是⊙O的切線；

(3)若BD＝2OD，且PB＝9，求⊙O的半徑及tan∠P的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：連結(jié)OC，則有∠COB=2∠CAB，又∠POE=2∠CAB，∴∠CCD=∠EOD，又OC=OE，OD=OD，∴△COD≌△EOD，∴∠ODC=∠ODE=，即CE⊥AB 　　(2)∵CE⊥AB，∠P=∠E，∴∠P＋∠PCD=∠E+∠PCD=，又∠OCD=∠E，∴∠OCD+∠PCD=∠PCO＝，∴PC是選⊙O的切線 　　(3)設(shè)⊙O的半徑為r，OD=x，則BD=2x，r=3x，∵CD⊥OP，OC⊥PC，由Rt△OCD∽Rt△PPC得OC2=OD·OP，即(3x)2=x·(3x+9)，解之得x＝，∴⊙O的半徑r＝，同理可得PC2＝PD·PO＝(PB+BD)·(PB+OB)=(9+3)·(+9)=162，∴PC=9，tan∠P=