Question

問題情境：如圖1，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，將一個(gè)用足夠長的細(xì)鐵絲制作的直角的頂點(diǎn)D放在直角三角板ABC的斜邊AB上，再將該直角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、Q兩點(diǎn)．
問題探究：
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，
①如圖2，當(dāng)AD=BD時(shí)，線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
②如圖3，當(dāng)AD=2BD時(shí)，線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
③根據(jù)你對①、②的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)AD=nBD時(shí)，DP、DQ滿足的數(shù)量關(guān)系為

 

（直接寫出結(jié)論，不必證明）
（2）當(dāng)AD=BD時(shí)，若AB=20，連接PQ，設(shè)△DPQ的面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出△ADP≌△CDQ（ASA），即可得出答案；
②首先得出△DPM∽△DQN，則

MD

DN

=

DP

DQ

，求出△AMD∽△BND，進(jìn)而得出答案；
③根據(jù)已知得出Rt△DNP∽R(shí)t△DMQ，則

ND

BC

=

DP

DQ

=

AD

AB

，則AD=nBD，求出即可；
（2）當(dāng)DP⊥AC時(shí)，x最小，最小值是5

2

，此時(shí)，S有最小值；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，x最大，最大值為10，分別求出即可．

解答：解：（1）①DP=DQ，
理由：如圖2，連接CD，
∵AD=BD，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，∠A=∠DCQ，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠CDQ+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，

∠A=∠QCD AD=CD ∠ADP=∠CDQ

，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP=DQ；
②DP=2DQ，
理由：如圖3，過點(diǎn)D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分別為：M，N，
則∠DMP=∠DNQ=90°，
∴∠MDP=∠NDQ，
∴△DPM∽△DQN，
∴

MD

DN

=

DP

DQ

，
∵∠AMD=∠DNB=90°，∠A=∠B，
∴△AMD∽△BND，
∴

AD

BD

=

DM

DN

，
∴

DP

DQ

=

AD

BD

=

2BD

BD

=

2

1

，
∴DP=2DQ；

③過D點(diǎn)作DM⊥AB于點(diǎn)M，作DN⊥AC于點(diǎn)N，
∵∠C=∠PDQ=90°，
∴∠ADP+∠QDB=90°，
可得：∠MDN=90°，
∴∠QDM=∠NDF，
又∵∠DNP=∠DMQ，
∴Rt△DNP∽R(shí)t△DMQ，
∴

ND

BC

=

DP

DQ

=

AD

AB

，
∵AD=nBD，
∴

DP

DQ

=

AN

CN

=

AD

BD

=n，
∴EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為：DP=nDQ；
故答案為：DP=nDQ；

（2）存在，設(shè)DQ=x，由（1）①知，DP=x，
∴S=

1

2

x•x=

1

2

x²，
∵AB=20，∴AC=BC=10

2

，AD=BD=10，
當(dāng)DP⊥AC時(shí)，x最小，最小值是5

2

，此時(shí)，S有最小值，
S_最小=

1

2

×（5

2

）²=25，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，x最大，最大值為10，
此時(shí)，S有最大值，S_最大=

1

2

×10²=50．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)最值求出等知識(shí)，熟練利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．