Question

20．如圖所示，菱形ABCD的頂點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D在y軸的正半軸上，∠BAD=60°．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)（2，0）；
（2）菱形ABCD的面積=8$\sqrt{3}$；
（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，問是否在線段AC上存在點(diǎn)E，使得PE+DE最��？存在的話，最小值是2$\sqrt{3}$；
（4）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度，按照A→D→C→B→A的順序在菱形的邊上勻速運(yùn)動(dòng)一周，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求t為何值時(shí)，點(diǎn)P到AC的距離是1？

Answer 1

分析 （1）在△OAD中可求得∠ADO=30°，由含30°直角三角形的性質(zhì)可求得AD的長，由菱形的性質(zhì)可得到AB的長，從而可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在△AOD中，依據(jù)勾股定理可求得OD的長，然后依據(jù)菱形ABCD的面積=底×高求解即可；
（3）如圖所示：過點(diǎn)B作BP⊥AD，垂直為P，BP交AC于點(diǎn)E，連接DE．由菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，依據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可證明PE+DE=PE+EB=PB，接下來在△ABP中由勾股定理可求得PB的長，從而得到PE+DE的最小值；
（4）分為當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)P在DC上、點(diǎn)P在BC上、點(diǎn)P在AB上四種情況求解即可．例如當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，可過點(diǎn)P作PE⊥AC，由含30°直角三角形的性質(zhì)求得PA的長，從而求得t的值．

解答 解：（1）∵∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴∠ADO=30°．
∴AD=2OA=4．
∵ABCD為菱形，
∴AB=AD=4．
∴OB=AB-OA=2．
∴B（2，0）．
故答案為：（2，0）．
（2）在△AOD中，OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
菱形ABCD的面積=AB•OD=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．
故答案為：8$\sqrt{3}$．
（3）如圖所示：過點(diǎn)B作BP⊥AD，垂直為P，BP交AC于點(diǎn)E，連接DE．

∵ABCD為菱形，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱．
∴ED=EB．
∴PE+DE=PE+EB=PB．
∵∠BPA=90°，∠BAP=60°，
∴∠PBA=30°．
∴AP=$\frac{1}{2}$AB=2．
∴PB=$\sqrt{A{B}^{2}-P{A}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴PE+DE的最小值為2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．
（4）如圖1所示：①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E．

由菱形的性質(zhì)可知：∠PAE=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
∵PE=1，∠PAE=30°，∠PEA=90°，
∴AP=2．
∴t=2．
②當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)，如圖3所示：

由菱形的性質(zhì)可知：∠PCE=$\frac{1}{2}$∠DCB=30°，
∵PE=1，∠PCE=30°，∠PEC=90°，
∴CP=2．
∴AD+DP=4+2=6．
∴t=6．
③如圖4所示：當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)．

由菱形的性質(zhì)可知：∠PCE=$\frac{1}{2}$∠DCB=30°，
∵PE=1，∠PCE=30°，∠PEC=90°，
∴CP=2．
∴AD+DC+CP=4+4+2=10．
∴t=10．
④如圖5所示；點(diǎn)P在AB上時(shí)．

由菱形的性質(zhì)可知：∠PAE=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
∵PE=1，∠PAE=30°，∠PEA=90°，
∴AP=2．
∴AD+DC+BC+BP=4+4+4+2=14．
∴t=14．
綜上所述，當(dāng)t=2或t=6或t=10或t=14時(shí)，點(diǎn)P到AC的距離是1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了菱形的性質(zhì)、勾股定理、含30°直角三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂線段的性質(zhì)，明確當(dāng)PB⊥AB且點(diǎn)B、E、P在一條直線上時(shí)，PE+DE有最小值是解題的關(guān)鍵．