Question

如圖，點A（a，b）是拋物線上一動點，OB⊥OA交拋物線于點B（c，d）．當點A在拋物線上運動的過程中（點A不與坐標原點O重合），以下結論：①ac為定值；②ac=-bd；③△AOB的面積為定值；④直線AB必過一定點．正確的有

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

C
分析：過點A、B分別作x軸的垂線，通過構建相似三角形以及函數(shù)解析式來判斷①②是否正確．△AOB的面積不易直接求出，那么可由梯形的面積減去構建的兩個直角三角形的面積得出，根據(jù)得出的式子判斷這個面積是否為定值．利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，即可判斷④是否正確．
解答：解：過A、B分別作AC⊥x軸于C、BD⊥x軸于D，則：AC=b，OC=-a，OD=c，BD=d；
（1）由于OA⊥OB，易知△OAC∽△BOD，有：
=，即=
∴ac=-bd（結論②正確）．
（2）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式中，有：
b=a²…Ⅰ、d=c²…Ⅱ；
Ⅰ×Ⅱ，得：bd=a²c²，即-ac=a²c²，ac=-4（結論①正確）．
（3）S_△AOB=S_梯形ACDB-S_△ACO-S_△BOD
=（b+d）（c-a）-（-a）b-cd
=bc-ad=（bc-•）=（bc+）
由此可看出，△AOB的面積不為定值（結論③錯誤）．
（4）設直線AB的解析式為：y=kx+h，代入A、B的坐標，得：
ak+h=b…Ⅲ、ck+h=d…Ⅳ
Ⅲ×c-Ⅳ×a，得：
h===-ac=2；
∴直線AB與y軸的交點為（0，2）（結論④正確）．
綜上，共有三個結論是正確的，它們是①②④，故選C．
點評：題目涉及的考點并不復雜，主要有：利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的解法，難就難在式子的變形，可以將已知的條件列出，通過比較式子間的聯(lián)系來找出答案．