Question

8．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（-4，0），B（1，0），與y軸交于點D（0，4），點C（-2，n）也在此拋物線上．
（1）求此拋物線的解析式及點C的坐標；
（2）設BC交y軸于點E，連接AE，AC請判斷△ACE的形狀，并說明理由；
（3）連接AD交BC于點F，試問：以A，B，F(xiàn)為頂點的三角形與△ABC相似嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B、D三點坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，把C點坐標代入解析式可求得n的值，可求得C點坐標；
（2）把C點坐標代入拋物線解析式可求得n，可得C點坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式，則可求得E點坐標，利用勾股定理可求得AC、AE、CE的長，則可判斷△ACE的形狀；
（3）由A、D坐標可先求得直線AD解析式，聯(lián)立直線BC、AD解析式可求得F點坐標，又可求得BF、BC和AB的長，由題意可知∠ABF=∠CAB，若以A，B，F(xiàn)為頂點的三角形與△ABC相似只有∠BFA=∠CAB，則判定$\frac{BF}{AB}$和$\frac{AB}{BC}$是否相等即可．

解答 解：
（1）∵拋物線經(jīng)過A、B、D三點，
∴代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線y=-x²-3x+4，
∵點C（-2，n）也在此拋物線上，
∴n=-4+6+4=6，
∴C點坐標為（-2，6）；
（2）△ACE為等腰直角三角形，理由如下：
設直線BC解析式為y=kx+s，
把B、C兩點坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{k+s=0}\\{-2k+s=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{s=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-2x+2，
令x=0可得y=2，
∴E點坐標為（0，2），
∵A（-4，0），C（-2，6），
∴AC=$\sqrt{[-2-（-4）]^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$，AE=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{[0-（-2）]^{2}+（2-6）^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
∴AE²+CE²=20+20=40=AC²，且AE=CE，
∴△ACE為等腰直角三角形；
（3）相似，理由如下：
設直線AD解析式為y=px+q，
把A、D坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-4p+q=0}\\{q=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=4}\end{array}\right.$，
∴直線AD解析式為y=x+4，
聯(lián)立直線AD、BC解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-2x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴F點坐標為（-$\frac{2}{3}$，$\frac{10}{3}$），
∴BF=$\sqrt{[1-（-\frac{2}{3}）]^{2}+（\frac{10}{3}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，BC=$\sqrt{[1-（-2）]^{2}+（0-6）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，且AB=1-（-4）=5，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\frac{5\sqrt{5}}{3}}{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{AB}{BC}$=$\frac{5}{3\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，且∠FBA=∠CAB，
∴△ABF∽△CBA．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點．在（1）中注意待定系數(shù)法的應用步驟是解題的關鍵，在（2）中求得E點坐標是解題的關鍵，在（3）中求得F點的坐標是解題的關鍵，注意勾股定理的應用．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．