Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一個動點，過C作CE垂直于BD或BD的延長線，垂足為E，如圖．

（1）若BD是AC的中線，求

BD

CE

的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分線，求

BD

CE

的值；
（3）結(jié)合（1）、（2），試推斷

BD

CE

的取值范圍（直接寫出結(jié)論，不必證明），并探究

BD

CE

的值能小于

4

3

嗎？若能，求出滿足條件的D點的位置；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：先設AB=AC=2a，CD=a，則BC=

2

a，AD=a．求出BD，又求得Rt△ABD∽Rt△ECD，
（1）BD是AC的中線，則CD=AD=x=

1

2

，則解得；
（2）BD是∠ABC的角平分線，則求得x，y值；
（3）由以上兩個問題，從

DB

CE

的比值求得x的值，則求得

AD

CD

的值．

解答：解：設CD=AD=a，則AB=AC=2a．
（1）在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=

5

a，
∵∠A=∠E=90°，∠ADB=∠EDC，
∴△BAD∽△CED，
∴

BD

CD

=

AB

CE

，
∴

5 a

a

=

2a

CE

，
解得：CE=

2a

5

，
∴

BD

CE

=

5 a

2a 5

=

5

2

；

（2）過點D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴AD=DF，
∵在Rt△ABC中，cos∠ABC=

AB

BC

=

2

2

，
在Rt△CDF中，sin∠DCF=

DF

CD

=

2

2

，
即

AD

CD

=

AB

BC

=

2

2

，
∴

AD+CD

CD

=

2+ 2

2

，
即

2a

CD

=

2+ 2

2

，
∴CD=2（2-

2

）a，
∴AD=AC-CD=2a-2（2-

2

）a=2（

2

-1）a，
∴BD²=AD²+AB²=8（2-

2

）a²，
∵Rt△ABD∽Rt△CED，
∴CE=

AB•CD

BD

=

4(2- 2 )

BD

a²．
∴

BD

CE

=

BD

4(2- 2 )a2 BD

=

BD2

4(2- 2 )a2

=2．

（3）當D在A點時，

BD

CE

=1，
當D越來越接近C時，

BD

CE

越來越接近無窮大，
∴

BD

CE

的取值范圍是

BD

CE

≥1．
設AB=AC=1，CD=x，AD=1-x，
在Rt△ABD中，BD²=1²+（1-x）²，
又∵Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴

CE

AB

=

CD

BD

，即

CE

1

=

x

12+(1-x)2

，
解得：CE=

x

12+(1-x)2

，
若y=

BD

CE

=x+

2

x

-2=

4

3

，則有3x²-10x+6=0，
∵0＜x≤1，
∴解得x=

5- 7

3

∴

AD

DC

=

1-x

x

=

7 -1

6

，
表明隨著點D從A向C移動時，BD逐漸增大，而CE逐漸減小，

BD

CE

的值則隨著D從A向C移動而逐漸增大，
∴探究

BD

CE

的值能小于

4

3

，此時AD=

7 -1

6

CD．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，本題從中線，角平分線以及中線與角平線相結(jié)合的問題來考查，是一道考查全面的好題．