Question

4．如圖，在四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在邊BC上（不與點B，點C重合），∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線于點F，AF與CD相交于點H．下列結(jié)論：①∠BAE=∠FEC；②AE=EF；③△CEF的面積最大值為2；④BE+DH=EH．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 在BA上截取BM=BE，如圖1，易得△BEF為等腰直角三角形，則∠BME=45°，所以∠AME=135°，再利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，則可對①進行判斷；于是根據(jù)“ASA”可判斷△AME≌△ECF，則根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可對②進行判斷；設(shè)BE=x，則BM=x，AM=AB-BM=4-x，利用三角形面積公式得到S_△AME=$\frac{1}{2}$•x•（4-x），則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷當(dāng)x=2時，S_△AME有最大值2，則利用△AME≌△ECF可對③進行判斷；判斷△AEF為等腰直角三角形得到∠EAF=45°，延長EB到G點，使BG=DH，如圖2，易得△ABG≌△ADH，則AG=AH，∠BAG=∠DAH，于是根據(jù)“SAS”證明△AEG≌△AEH，所以EG=EH，于是得到BE+DH=EH，則可對④進行判斷．

解答 解：在BA上截取BM=BE，如圖1，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=90°，BA=BC，
∴△BEF為等腰直角三角形，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°，
∵BA-BM=BC-BE，
∴AM=CE，
∵CF為正方形外角平分線，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，所以①正確；
在△AME和△ECF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=EC}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF，
∴AE=EF，所以②正確；
設(shè)BE=x，則BM=x，AM=AB-BM=4-x，
S_△AME=$\frac{1}{2}$•x•（4-x）=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
當(dāng)x=2時，S_△AME有最大值2，
而△AME≌△ECF，
∴S_△AME=S_△CEF，
∴S_△CEF有最大值2，所以③正確；
∵AE=EF，AE⊥EF，
∴△AEF為等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°，
延長EB到G點，使BG=DH，如圖2，
在△ABG和△ADH中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADH}\\{BG=DH}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADH，
∴AG=AH，∠BAG=∠DAH，
而∠DAH+∠BAH=90°，
∴∠BAG+∠BAH=90°，即∠GAH=90°，
∴∠GAE=90°-∠EAF=45°，
∴∠GAE=∠HAE，
在△AEG和△AEH中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AH}\\{∠EAG=∠EAH}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△AEH，
∴EG=EH，即BE+BG=EH，
∴BE+DH=EH，所以④正確．
故選D．

點評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)；能靈活運用全等三角形的知識解決線段線段的問題．構(gòu)建△AME與△EFC全等是判斷①②③的關(guān)鍵；而構(gòu)建△AEG與△AEH全等是判斷④的關(guān)鍵．