Question

如圖，等腰△MBC中，MB=MC，點(diǎn)A、P分別在MB、BC、上，作∠APE=∠B．PE交CM于E．
（1）求證：

AP

PE

=

BP

CE

；
（2）若∠C=60°，BC=7，CE=3，AB=4，求△ABP的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和已知條件開證明△APB∽△PEC，由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可證明：

AP

PE

=

BP

CE

；
（2）設(shè)BP=x，則PC=7-x，由（1）中的相似三角形可得關(guān)于BP，EC，AB，PC的比例式，可求出BP的長，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可求出△ABP的面積．

解答：（1）證明：∵M(jìn)B=MC，
∴∠B=∠C=∠APE，
∵∠APC=∠B+∠BAP，即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
∴∠BAP=∠PEC，
∴△APB∽△PEC，
∴

AP

PE

=

BP

CE

；
（2）∵△APB∽△PEC，
∴

BP

EC

=

AB

PC

，
設(shè)BP=x，則PC=7-x，
∵BC=7，CE=3，AB=4，
∴

x

3

=

4

7-x

，
整理得：x²-7x+12=0，
解得：x=3或4，
∵∠C=60°，MB=MC，
∴△MBC是等邊三角形，
∵當(dāng)AB=BP=4，
∴△ABP是等邊三角形，
∴S_△ABP=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
當(dāng)BP=3，則△ABP的高為：4×sin60°=2

3

，
∴S_△ABP=

1

2

×3×2

3

=3

3

，
綜上所述：△ABP的面積為：4

3

或3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．