Question

在△ABC中，∠ACB=45°，點D（與點B、C不重合）為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF。
（1）如果AB=AC，如圖（1），且點D在線段BC上運動，試判斷線段CF與BD 之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如果AB≠AC，如圖（2），且點D在線段BC上運動，（1）中結(jié)論是否成立，為什么？
（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與直線CF相交于點P，設(shè)BC=3，CD=x，求線段CP的長。（用含x的式子表示）

Answer 1

解：（1）CF與BD位置關(guān)系是垂直， 證明如下：如圖（1） ∵AB=AC，∠ACB=45°， ∴∠ABC=45°， 由正方形ADEF得AD=AF，  ∵∠DAF=∠BAC=90°， ∴∠DAB=∠FAC， ∴△DAB≌△FAC， ∴∠ACF=∠ABD ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°， 即CF⊥BD；
（2）CF⊥BD，（1）中的結(jié)論成立， 理由：如圖（2）， 過點A作AC⊥AC交BC于點G ∴AC=AG，仿（1）可證： △GAD≌△CAF， ∴∠ACF=∠AGD=45°， ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90° 即CF⊥BO；
（3）過點A作AQ上BC交CB的延長線于點Q ①如圖（3）點D在線段BC上運動時， ∵∠BCA=45°， 可求出AQ=CQ=4， ∴DQ =4-x， 易證△AQD∽△DCP， ∴ ∴  ②如圖（4），點D在線段BC延長線上運動時， ∵∠BCA=45°， 可求出AQ=CQ=4， ∴DQ=4+x， 過A作AG⊥AC交CB延長線于點G， 則△AGD≌△ACF， ∴∠AGD=∠ACF， ∵∠AGD+∠ACG=90°， ∴∠ACF+∠ACG=90°， ∴CF⊥ BD， ∴△AQD∽△DCP，