Question

2．已知直線l：y=x，拋物線C：y=x²+bx+c．
（1）當(dāng)b=4，c=1時(shí)，求直線l與拋物線C的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)b=$\sqrt{3}$，c=-4時(shí)，將直線l繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若將（2）中的條件“c=-4”去掉，其他條件不變，且2≤AB≤4，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程，解方程求得即可；
（2）由題意得旋轉(zhuǎn)后的直線的解析式為y=$\sqrt{3}$x，然后聯(lián)立方程，解方程求得即可；
（3）根據(jù)題意求得$\frac{4ac-^{2}}{4a}$交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理表示出AB，得出不等式，解不等式即可求得c的取值范圍．

解答 解：（1）∵b=4，c=1，
∴拋物線C：y=x²+4x+1．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}+4x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線l與拋物線C的交點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$）；
（2）設(shè)直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到直線AB，
而直線l與x軸的夾角為45°，
∴旋轉(zhuǎn)后直線AB與x軸的夾角為60°，
∴旋轉(zhuǎn)后的直線AB的解析式為y=$\sqrt{3}$x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y={x}^{2}+\sqrt{3}x-4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴A（-2，-2$\sqrt{3}$），B（2，2$\sqrt{3}$）；
（3）$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+\sqrt{3}x+c}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$
整理得，x²+c=0，
解得x=±$\sqrt{-c}$，
∴A（-$\sqrt{-c}$，-$\sqrt{-3c}$），B（$\sqrt{-c}$，$\sqrt{-3c}$），
∴AB=$\sqrt{（{\sqrt{-c}+\sqrt{-c}）}^{2}+（{\sqrt{-3c}+\sqrt{-3c}）}^{2}}$=4$\sqrt{-c}$，
∵2≤AB≤4，
∴2≤4$\sqrt{-c}$≤4，
∴-1≤c≤-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的圖象與幾何變換，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．