Question

20．如圖，正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$在第一象限交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C在y=$\frac{8}{x}$上（x＞0），過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，使S_△CBD等于S_△AOB的$\frac{2}{3}$，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在y=$\frac{8}{x}$上（x＞0）是否存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，使△PBM與△AOB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$兩個(gè)解析式組成方程組，解方程即可；
（2）設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)（x，$\frac{8}{x}$），分兩種情況：①當(dāng)C在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，由三角形的面積關(guān)系得出方程$\frac{1}{2}$（x-2）$•\frac{8}{x}$=$\frac{8}{3}$，解方程求出x，即可得出結(jié)果；
②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，由三角形的面積關(guān)系得出方程$\frac{1}{2}$（2-x）•$\frac{8}{x}$=$\frac{8}{3}$，解方程求出x，即可得出結(jié)果；
（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，$\frac{8}{a}$），分兩種情況：①當(dāng)$\frac{BM}{AB}=\frac{PM}{OB}$時(shí)，得出方程，解方程即可；②當(dāng)$\frac{BM}{OB}=\frac{PM}{AB}$時(shí)，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$（不合題意舍去），
則A（2，4）；
（2）設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)（x，$\frac{8}{x}$），
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×4=4，S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•CD=$\frac{2}{3}$×4=$\frac{8}{3}$，
分兩種情況：
①當(dāng)C在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，$\frac{1}{2}$（x-2）$•\frac{8}{x}$=$\frac{8}{3}$，
解得：x=6，
∴$\frac{8}{x}$=$\frac{4}{3}$，
∴C（6，$\frac{4}{3}$）；
②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，$\frac{1}{2}$（2-x）•$\frac{8}{x}$=$\frac{8}{3}$，
解得：x=$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{8}{x}=\frac{20}{3}$，
∴C（$\frac{6}{5}$，$\frac{20}{3}$）；
綜上所述：C點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，$\frac{4}{3}$）或（$\frac{6}{5}$，$\frac{20}{3}$）；
（3）存在點(diǎn)P，使△PBM與△AOB相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{17}$+1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$）或（$\sqrt{5}$+1，2$\sqrt{5}$-2）．理由如下：
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，$\frac{8}{a}$），
∵PM⊥x軸于點(diǎn)M，
∴PMB=90°=∠ABO，
∴分兩種情況：
①當(dāng)$\frac{BM}{AB}=\frac{PM}{OB}$時(shí)，$\frac{a-2}{4}=\frac{\frac{8}{a}}{2}$，
解得：a=1±$\sqrt{17}$（負(fù)值舍去），
∴a=$\sqrt{17}$+1，$\frac{8}{a}$=$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$，
∴P（$\sqrt{17}$+1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$）；
②當(dāng)$\frac{BM}{OB}=\frac{PM}{AB}$時(shí)，$\frac{a-2}{2}=\frac{\frac{8}{a}}{4}$，
解得：a=1±$\sqrt{5}$（負(fù)值舍去），
∴a=$\sqrt{5}$+1，$\frac{8}{a}$=2$\sqrt{5}$-2，
∴P（$\sqrt{5}$+1，2$\sqrt{5}$-2）；
綜上所述：存在點(diǎn)P，使△PBM與△AOB相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{17}$+1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$）或（$\sqrt{5}$+1，2$\sqrt{5}$-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)解析式的運(yùn)用、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算方法、相似三角形的判定、解方程等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，進(jìn)行分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．