Question

9．如圖，在⊙O中．AB弧的度數(shù)為100，把弦AB繞圓心旋轉(zhuǎn)60，得到線段A′B′，交AB于D，作OC⊥AB，OC′⊥A′B′，C，C′分別為垂足，連結(jié)CC′．
（1）求證：∠OCC′=∠OC′C；
（2）求證：Rt△AOC全等于Rt△A′OC′，
（3）求∠ADA′的度數(shù)和弧A′B的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）只要證明OC=OC′，即可解決問(wèn)題．
（2）根據(jù)斜邊直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等即可證明．
（3）首先求出AA′弧的度數(shù)為60°，A′B弧的度數(shù)為40°，再根據(jù)∠A′DA=∠DBA′+∠BA′B′，證明∠ABA′=∠BA′B′=30°即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵OC⊥AB，OC′⊥A′B′，
∴AC=BC，A′C′=′B′C，
∵AB=A′B′，
∴AC=A′C′，
在Rt△AOC和Rt△A′OC′中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA′}\\{AC=A′C′}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△A′OC′，
∴OC=OC′，
∴∠OCC′=∠OC′C．

（2）∵OC⊥AB，OC′⊥A′B′，
∴AC=BC，A′C′=′B′C，
∵AB=A′B′，
∴AC=A′C′，
在Rt△AOC和Rt△A′OC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA′}\\{AC=A′C′}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△A′OC′．

（3）∵AB弧的度數(shù)為100°，∠AOA′=60°，
∴AA′弧的度數(shù)為60°，A′B弧的度數(shù)為40°，
∵AB弧=A′B′弧，
∴BB′弧=AA′弧，
∴BB′弧的度數(shù)為60°，
∴∠ABA′=∠BA′B′=30°
∴∠A′DA=∠DBA′+∠BA′B′=60°，
∴∠A′DA=60°，A′B弧的度數(shù)為40°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角的度數(shù)與所對(duì)的弧的度數(shù)之間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．