Question

如圖，直線y=-x+20與x軸、y軸分別交于A、B兩點，動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個長度單位的速度向原點O運動. 動直線EF從x軸開始以每秒1個長度單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于E、F點. 連結FP，設動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒．

(1) 當t＝1秒時，求梯形OPFE的面積.

(2) t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？

(3) 設t的值分別取t₁、t₂時(t₁≠t₂)，所對應的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個三角形是否相似，請證明你的判斷.

Answer 1

設梯形OPFE的面積為S.

(1) A(20，0)，B(0，20)

∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°..

當t=1時，OE=1，AP=3，∴OP=17，EF=BE=19.

∴S=(OP+EF)·OE=18.

(2) OE=t，AP=3t，∴OP=20-3t，EF=BE=20-t.

∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t =-2t²+20t=-2(t-5)²+50.

∴當t=5 (在0<t<范圍內)時，S_最大值=50.

當t=t₁時，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；當t=t₂時，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；

∴，又∠A=∠A，∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.