Question

8．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx-5（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．動(dòng)直線y=t（t為常數(shù)）與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q．
（1）若a＜5，試證明拋物線的對(duì)稱軸一定在y軸的右側(cè)．
（2）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）．
①求a、b的值及t的取值范圍． 
②求當(dāng)t為何值時(shí)，∠PCQ=90°．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx-5得到b=a-5，再利用拋物線的對(duì)稱軸方程得到x=-$\frac{2a}$=$\frac{5-a}{2a}$，然后根據(jù)0＜a＜5可判斷$\frac{5-a}{2a}$＞0，所以此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸一定在y軸的右側(cè)；
（2）①把A和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx-5中可得到關(guān)于a和b的方程組，然后解方程組可得到a和b的值，從而得到二次函數(shù)關(guān)系式為y=x²-4x-5，利用配方法求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-9），再利用圖象可判斷當(dāng)t＞-9時(shí)，動(dòng)直線y=t（t為常數(shù)）與拋物線交于不同的兩點(diǎn)；
②直線y=t交y軸于點(diǎn)D，連接PC、CQ，如圖，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，t）（m＞0），利用拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-m+4，t），分類討論：（Ⅰ）當(dāng)t＞-5時(shí)，點(diǎn)D在點(diǎn)C上方，把Q（m，t）代入解析式得到t+5=m²-4m，則CD=t+5，DQ=m，DP=m-4，再證明△QCD∽△CDP，利用相似比得到$\frac{m}{t+5}$=$\frac{t+5}{m-4}$，整理得（t+5）²=m²-4m，則（t+5）²=t+5，解得t₁=-5（不合，舍去），t₂=-4；（Ⅱ）當(dāng)t=-5時(shí)，動(dòng)直線y=t經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，不合題意；（Ⅲ）當(dāng)t＜-5時(shí)，點(diǎn)D在C下方，∠PCQ＜∠DCQ＜90°．

解答 （1）證明：∵A（-1，0）在拋物線上，
∴a-b-5=0，
∴b=a-5，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=$\frac{5-a}{2a}$，
∵0＜a＜5，
∴2a＞0，5-a＞0，
∴$\frac{5-a}{2a}$＞0，
∴此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸一定在y軸的右側(cè)；
（2）解：①∵A（-1，0），B（5，0）在拋物線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b-5=0\\ 25a+5b-5=0\end{array}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)關(guān)系式為y=x²-4x-5，
∵y=（x-2）²-9，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-9），
∴當(dāng)t＞-9時(shí)，動(dòng)直線y=t（t為常數(shù)）與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q；
②直線y=t交y軸于點(diǎn)D，連接PC、CQ，如圖，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，t）（m＞0），
∵P、Q關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-m+4，t），
（Ⅰ）當(dāng)t＞-5時(shí)，點(diǎn)D在點(diǎn)C上方，如圖1，
∵Q（m，t）在拋物線上，
∴t=m²-4m-5，即t+5=m²-4m，
∵t＞-5，
∴m＞4，
∴CD=t+5，DQ=m，DP=m-4，
∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°，
∴∠QCD=∠DPC，
又∠PDC=∠QDC=90°，
∴△QCD∽△CDP，
∴$\frac{DQ}{DC}$=$\frac{DC}{PD}$，即$\frac{m}{t+5}$=$\frac{t+5}{m-4}$，整理得（t+5）²=m²-4m，
∴（t+5）²=t+5，解得t₁=-5（不合，舍去），t₂=-4；
（Ⅱ）當(dāng)t=-5時(shí)，動(dòng)直線y=t經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∠PCQ不能為90°；
（Ⅲ）當(dāng)t＜-5時(shí)，點(diǎn)D在C下方，如圖2，P、Q都在y軸右則，此時(shí)∠PCQ＜∠DCQ＜90°．
綜上所述，當(dāng)t=-4，∠PCQ=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；靈活運(yùn)用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)．