Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向終點(diǎn)作勻速運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，運(yùn)動時間為，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，以為正方形的一邊，向上作正方形，邊交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)．

①當(dāng)為何值時，點(diǎn)落在拋物線上；

②在點(diǎn)運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出此時刻的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，

【解析】

（1）把點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入拋物線解析式得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值，即可得解；

（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例用t表示出PM，再求出NE的長度，

①表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)N在拋物線上，把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線，解方程即可得解；

②根據(jù)PM的長度表示出QD，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后根據(jù)直線BC的解析式求出點(diǎn)R的橫坐標(biāo)，從而求出QR的長度，再表示出EC的長度，然后根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等列式求解即可．

解：（1）∵經(jīng)過，兩點(diǎn)，

∴，

解得，所以，拋物線的解析式為

（2）∵，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，

∴，，

∵，∴，

∴，

∴即

解得，

所以，，

∵四邊形為正方形，

∴

①點(diǎn)的坐標(biāo)為，

若點(diǎn)在拋物線上，則

整理得，，解得（舍去），，

所以，當(dāng)秒時，點(diǎn)落在拋物線上；

②存在

理由如下：∵，四邊形為正方形，

∴，

設(shè)直線的解析式為，

將，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，得

，解得

所以直線的解析式為，

則∴，解得，

所以，，

又，

根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得，

即，解得

此時點(diǎn)在上，

所以，當(dāng)時，四邊形為平行四邊形