Question

20．在△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE=∠BEC，AC=BC，DC=EC，試說明AF=DF．

Answer 1

分析 作AM∥CD交EF的延長線于M，在BE上截取BN，使得BN=CM，易得△ACM≌△CBN，利用全等三角形的性質可得AM=CN，∠CMA=∠BNC，由平行線的性質可得∠CMA=∠FCD，等量代換可得∠CNE=∠DCE=∠CEN，證得CD=AM，由平行四邊形的判定定理得四邊形AMDC是平行四邊形，利用平行四邊形的性質得出結論．

解答 解：作AM∥CD交EF的延長線于M，在BE上截取BN，使得BN=CM，
∵∠ACB=∠DCE=∠BEC，
∴CD∥BE，
∴∠CBE+∠DCB=180°，
∴∠CBE+∠BCE+∠ECD=180°，
∵∠ACB+∠BCE+∠ACM=180°，
∴∠CBE=∠ACM，
在△ACM與△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACM=∠CBN}\\{CM=BN}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△CBN（SAS），
∴AM=CN，∠CMA=∠BNC，
∵AM∥CD，
∴∠CMA=∠FCD，
∵∠FCD+∠DCE=180°，∠BNC+∠ENC=180°，
∴∠CNE=∠DCE=∠CEN，
∴CN=CE=CD，
∴CD=AM，
∴四邊形AMDC是平行四邊形，
∴AF=FD．

點評 本題主要考查了全等三角形與平行四邊形的判定及性質定理，作出恰當的輔助線構建全等三角形，綜合利用各定理是解答此題的關鍵．