Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F．

（1）如圖2，取AB的中點(diǎn)H，連接HE，求證：AE＝EF．

（2）如圖3，若點(diǎn)E是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變結(jié)論“AE＝EF”仍然成立嗎？如果正確，寫出證明過程：如果不正確，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析.

【解析】

（1）取AB的中點(diǎn)H，連接EH，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE＝EF；

（2）成立，延長BA到M，使AM＝CE，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE＝EF；

（1）證明：取AB的中點(diǎn)H，連接EH；如圖1所示

∵四邊形ABCD是正方形，AE⊥EF；

∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°

∴∠1＝∠2，

∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，

∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，

在△AHE和△ECF中，

，

∴△AHE≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF；

（2）解：AE＝EF成立，

理由如下：如圖2，延長BA到M，使AM＝CE，

∵∠AEF＝90°，

∴∠FEG+∠AEB＝90°．

∵∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠FEG，

∴∠MAE＝∠CEF．

∵AB＝BC，

∴AB+AM＝BC+CE，

即BM＝BE．

∴∠M＝45°，

∴∠M＝∠FCE．

在△AME與△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF．