Question

【題目】如圖，拋物線（）與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在x軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4，現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點(diǎn)C時，與x軸的另一點(diǎn)為E，其頂點(diǎn)為F，對稱軸與x軸的交點(diǎn)為H．

（1）求a、c的值及拋物線的解析式．

（2）連接OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=，c=2；（2）△OEF是等腰三角形.

【解析】

試題分析：（1）由A（0，c），得到OA=c，再由等腰直角三角形的性質(zhì)得OA=OB=OC=c，由三角形面積公式解得，解得c=2，把C（2，0）代入可求出a的值；

（2）如圖1，先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為，設(shè)F（t，t+2），利用拋物線平移的規(guī)律可設(shè)平移后的拋物線解析式為，再把C（2，0）代入解得t=6，則平移后的拋物線解析式為，所以F（6，8），利用勾股定理得出OF=10，由拋物線與x軸的交點(diǎn)確定E（10，0），則OE=OF=10，于是可判斷△OEF為等腰三角形；

試題解析：解：（1）∵拋物線（）與y軸交于點(diǎn)A，

∴A（0，c），則OA=c，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴OA=OB=OC=c，

∴c2c=4，解得c=2，

∴C（2，0），

把C（2，0）代入得4a+2=0，解得a=；

拋物線的解析式是：.

（2）△OEF是等腰三角形．理由如下：如圖1，

設(shè)直線AB的解析式為，

把A（0，2）、B（﹣2，0）代入得，解得：，

則直線AB的解析式為，設(shè)F（t，t+2），

∵拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點(diǎn)C時，頂點(diǎn)為F，

∴平移后的拋物線解析式為，

把C（2，0）代入得，解得t=6，

∴平移后的拋物線解析式為，

∴F（6，），

∴OF==10，

令y=0時，，解得，，

∴OE=10，

∴OE=OF，

∴△OEF為等腰三角形；