Question

6．如圖（1），AB=5cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=4cm．點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t=1，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，并推導(dǎo)出此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；
（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB=∠DBA=a°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x cm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結(jié)論即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．

解答 解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，AP=BQ=1，BD=AC=4，
∵AB=5，
∴BP=5-1=4=AC，
又∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BQ}\\{∠A=∠B}\\{AC=BP}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，
∴∠CPQ=90°，即線段PC與線段PQ垂直；

（2）①若△ACP≌△BPQ，
則AC=BP，AP=BQ，
∴4=5-t，t=xt，
解得t=1，x=1，
∴存在x=1，t=1，使得△ACP與△BPQ全等；
②若△ACP≌△BQP，
則AC=BQ，AP=BP，
∴t=5-t，4=xt，
解得t=2.5，x=$\frac{8}{5}$，
∴存在t=2.5，x=$\frac{8}{5}$，使得△ACP與△BPQ全等；
綜上所述，存在x=1，t=1或t=2.5，x=$\frac{8}{5}$，使得△ACP與△BPQ全等．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．在解題時(shí)注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．