Question

【題目】已知，如圖，二次函數(shù)（）圖象的頂點為，與軸交于、兩點（在點右側），點，關于直線對稱.

（1）坐標為 ；坐標為： ；坐標為 ；

（2）求二次函數(shù)解析式；

（3）在直線上是否存在一點，使得最大？若不存在，請說明理由：若存在，請求出此時的面積；

（4）過點作直線交直線于點，，分別為直線和直線上的兩個動點，連接、、，求和的最小值.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）存在，的面積為；（4）的最小值為8.

【解析】

（1）由直線的解析式可求出點A的坐標；再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸可知點B的坐標；然后根據(jù)直線的解析式和點、的橫坐標確定HB與直線的交點在y軸上，最后根據(jù)點的對稱性求解即可；

（2）將點H的坐標代入二次函數(shù)的解析式求解即可；

（3）先根據(jù)三角形的三邊關系確定點P的位置，再求出其坐標，最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；

（4）先求出點K的坐標，再利用兩點之間線段最短求出的最小值為BM，然后再次利用兩點之間線段最短求出的最小值，即為最小值，最后利用勾股定理求解即可.

（1）令，代入直線的解析式得：

解得：，則點A的坐標為

如圖1，設直線與y軸的交點為C

令，代入直線的解析式得：，則點C的坐標為

二次函數(shù)的對稱軸為，點A、B關于對稱軸對稱

則點B的坐標為，二次函數(shù)頂點D的橫坐標為

點、關于直線對稱，并且點、的橫坐標關于原點對稱

則HB與直線的交點為點

因此，點H的縱坐標為，即點H的坐標為

綜上，；

（2）把代入得：

解得：

故二次函數(shù)解析式為；

（3）由三角形的三邊關系得：

則當P、H、A三點共線時，最大，最大值為AH

此時，點P為直線與AH所在直線的交點

設直線的解析式為

將和代入得：

解得：，則直線AH的解析式為

聯(lián)立，解得

則點P的坐標為；

故此時的面積為

綜上，存在這樣的點P，使得最大，此時的面積為；

（4）∵過點作直線，直線AH的解析式為

∴直線的解析式為中的

又因為在直線上，代入求出

∴直線的析解式為：

聯(lián)立，解得：

∴交點的坐標是

則

∵點、關于直線對稱

∴的最小值是

如圖2，過作軸于，作點關于直線的對稱點，連接，交直線于

則，，，

∴根據(jù)兩點之間線段最短公理得出的最小值是

即的長是的最小值

∵

∴

由勾股定理得

故的最小值為8.