Question

6．（1）如圖1，△ABC與△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD=CE；
（2）如圖2，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．
填空：∠AEB的度數(shù)為60°；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是BE=AD．
（3）拓展探究
如圖3，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△BAD≌△CAE，即可判斷出BD=CE．
（2）首先根據(jù)△ACB和△DCE均為等邊三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，據(jù)此判斷出∠ACD=∠BCE；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE=AD，∠BEC=∠ADC，進(jìn)而判斷出∠AEB的度數(shù)為60°即可．
（3）首先根據(jù)△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，據(jù)此判斷出∠ACD=∠BCE；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE=AD，∠BEC=∠ADC，進(jìn)而判斷出∠AEB的度數(shù)為90°即可；最后根據(jù)DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，據(jù)此判斷出AE=BE+2CM即可．

解答 （1）證明：∵∠BAC=∠DAE=40°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE．

（2）解：∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，∠ADC=∠BEC，
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=180-60=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120-60=60°，
綜上，可得
∠AEB的度數(shù)為60°；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是：BE=AD．

（3）解：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=180-45=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135-45=90°；
∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，
∴CM=DM=EM，
∴DE=DM+EM=2CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
故答案為：60°、BE=AD．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了全等三角形的判定方法和性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．
（2）此題還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．