Question

平面直角坐標系中，□ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別為（0，3）、（-1，0），將此平行四邊形繞點O[順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到□．

（1）若拋物線過點,求此拋物線的解析式；

（2）求□ABOC和□重疊部分的周長；

（3）點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：點M在何處時△的面積最大？最大面積是多少？

并求出此時點的坐標．

 

Answer 1

解: （1）∵由旋轉(zhuǎn)得到，且點A的坐標為，∴點的坐標為.  ……………………………1分

所以拋物線過點.設拋物線的解析式為，可得  解得  ……4分

∴ 過點的拋物線的解析式為.

（2）因為，所以.

所以.

又,

,   ∴△∽△.

又.………………7分

∴.

又△的周長為，

所以△的周長為.……9分

(3)設直線的解析式為，

∵點的坐標分別為，

∴ 解得 ∴.…10分

將直線向右平移，當直線與拋物線只有一個交點M時與y軸交于點P，此時最大，設平移后的直線的解析式為：，

則有： 得，

令，得.

∴.解得

∴點坐標為,點P的坐標為.…12分

因為MP∥,所以△與△同底等高，它們面積相等.故.所以當點M的坐標為時，△的面積有最大值，且最大值為 ……14分