Question

19．如圖，菱形ABCD的周長為32，∠C=120°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足為別為E、F，連結(jié)EF，則△AEF的面積是（　　）

• A． 8
• B． $8\sqrt{3}$
• C． $12\sqrt{3}$
• D． $16\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先利用菱形的性質(zhì)得到BC=CD=AB=AD=8，∠B=60°，∠D=60°，則可判斷△ABC和△ACD都為等邊三角形，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠EAC=30°，∠FAC=30°，CE=BE=4，CF=FD=4，所以∠EAF=60°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得AE=$\sqrt{3}$CE=4$\sqrt{3}$，AF=$\sqrt{3}$CF=4$\sqrt{3}$，于是可判斷△AEF為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的面積公式求解．

解答 解：∵菱形ABCD的周長為32，
∴BC=CD=AB=AD=8，
∵∠C=120°，
∴∠B=60°，∠D=60°，
∴△ABC和△ACD都為等邊三角形，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠EAC=30°，∠FAC=30°，CE=BE=4，CF=FD=4，
∴∠EAF=60°，AE=$\sqrt{3}$CE=4$\sqrt{3}$，AF=$\sqrt{3}$CF=4$\sqrt{3}$，
∴△AEF為等邊三角形，
∴△AEF的面積=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（4$\sqrt{3}$）²=12$\sqrt{3}$．
故選C．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．熟練掌握菱形的性質(zhì)（菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)； 菱形的四條邊都相等； 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角）． 解決此題的關(guān)鍵是判斷△ABC和△ACD為等邊三角形．