Question

1．如圖，△ABO和△OCD均為直角三角形，且∠OCD和∠OAB=90°，DC=k•CO，AB=k•AO，M為DB的中點(diǎn)，連接MC、MA，試探索線段MC與MA的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 取BO的中點(diǎn)Q，DO的中點(diǎn)P，連接MP，MQ，CP，AQ，則PM，QM是△BDQ的中位線，于是得到PM∥OB，PM=$\frac{1}{2}$OB，QM∥OD，QM=$\frac{1}{2}$OD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2=∠3，由直角三角形的性質(zhì)得到CP=$\frac{1}{2}$OD，AQ=$\frac{1}{2}$OB，于是得到CP=QM，AQ=PM，由已知條件推出$\frac{CD}{OC}=\frac{AB}{AO}$=k，∠OCD=∠OAB=90°，得到△ABO∽△CDO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠AOB=∠COD，由于∠AQB=2∠AOB，∠CPD=2∠COD，推出∠AQB=∠CPD，得到∠4=∠5，證得△AQM≌△MPC于是得到結(jié)論．

解答 解：取BO的中點(diǎn)Q，DO的中點(diǎn)P，連接MP，MQ，CP，AQ，則PM，QM是△BDQ的中位線，
∴PM∥OB，PM=$\frac{1}{2}$OB，QM∥OD，QM=$\frac{1}{2}$OD，
∴∠1=∠2=∠3，
∵△ABO與△OCD是直角三角形，
∴CP=$\frac{1}{2}$OD，AQ=$\frac{1}{2}$OB，
∴CP=QM，AQ=PM，
∵DC=k•CO，AB=k•AO，
∴$\frac{CD}{OC}=\frac{AB}{AO}$=k，∠OCD=∠OAB=90°，
∴△ABO∽△CDO，
∴∠AOB=∠COD，
∵∠AQB=2∠AOB，∠CPD=2∠COD，
∴∠AQB=∠CPD，
∴∠4=∠CPD-∠1=∠AQB-∠3=∠5，
在△AQM與△MPC中，$\left\{\begin{array}{l}{AQ=PM}\\{∠4=∠5}\\{MQ=PC}\end{array}\right.$，
∴△AQM≌△MPC，
∴MA=MC．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．