Question

（本題滿分14分 ，第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小題4分）

如圖，已知在等腰 Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB＝2，若將△ABC翻折，折痕EF分別交邊AC、邊BC于點E和點F（點E不與A點重合，點F不與B點重合），且點C落在AB邊上，記作點D．過點D作DK⊥AB，交射線AC于點K，設AD＝x，y＝cot∠CFE，

（1）求證：△DEK∽△DFB；

（2）求y關于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；

（3）聯(lián)結(jié)CD，當＝時，求x的值

Answer 1

(1)(2) ()

(3)

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)互余的關系可證，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得從而可證△DEK∽△DFB；（2）因為AD＝x，所以DK=x,BD=2-x, 根據(jù)折疊可得Rt△DEF中，∠DFE=∠CFE，所以y＝cot∠CFE= cot∠DFE= ,由△DEK∽△DFB可得，所以 ()；（3）設CD交EF于點p,EF的中點為Q,連結(jié)CQ,根據(jù)題意可得且PC=CD,

CQ=EF,根據(jù)＝可得,所以60°，從而∠CFE=∠DFE=30°，所以y=，所以=，然后解方程即可.

試題解析：（1）根據(jù)題意可得∠EDK+∠KDF=90°，∠BDK+∠KDF=90°，所以 ，又因為△ABC是等腰直角三角形，所以所以△DEK∽△DFB；（2）因為AD＝x，所以DK=x,BD=2-x, 根據(jù)折疊可得Rt△DEF中，∠DFE=∠CFE，所以y＝cot∠CFE= cot∠DFE= ,由△DEK∽△DFB可得，所以 ()；（3）設CD交EF于點p,EF的中點為Q,連結(jié)CQ,由折疊可得且PC=CD,又△CEF是直角三角形，所以CQ=EF,又因為＝，所以在Rt△PCQ中有,所以60°，所以∠CFE=∠FCQ=30°，所以∠CFE=∠DFE=30°，所以y=，所以=，解得.

考點：1. 等腰直角三角形的性質(zhì)；2.相似三角形的判定與性質(zhì)；3. 直角三角形的性質(zhì)；4.圖形折疊的性質(zhì)；5.特殊角的三角函數(shù)值；6.函數(shù)知識與幾何知識的綜合.