Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)P是邊BC上的任意一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP，作PF⊥AP交∠DCE的平分線CF上一點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AF交邊CD于點(diǎn)G．
（1）求證：AP=PF；
（2）設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離為x，線段DG的長(zhǎng)為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)P是線段BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，那么（2）式中y與x的函數(shù)關(guān)系式保持不變嗎？如改變，試直接寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用全等三角形證明．如答圖1，在線段AB上截取AQ=PC，構(gòu)造△APQ≌△PFC；
（2）利用相似三角形求解．如答圖2，過(guò)點(diǎn)F過(guò)FN⊥CE于點(diǎn)N，易證△ABP≌△PNF，則有FN=BP=x；過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CD于點(diǎn)M，則MCNF為正方形，從而得到：MF=x，MG=2-x-y；最后利用相似三角形△ADG∽△FMG，列出比例關(guān)系式，求出表達(dá)式；
（3）與（2）相同方法求解，如答圖3所示，結(jié)論不變．

解答：（1）證明：如答圖1，在線段AB上截取AQ=PC，
則有BP=BQ，∴△BPQ為等腰直角三角形，∴∠AQP=135°．

∵PF⊥AP，
∴∠FPC+∠APB=90°，
又∠PAQ+∠APB=90°，
∴∠PAQ=∠FPC．
在△APQ與△PFC中，

∠AQP=∠PCF=135° AQ=PC ∠PAQ=∠FPC

，
∴△APQ≌△PFC（ASA）
∴AP=PF．

（2）解：如答圖2，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥CE于點(diǎn)N，則易證△ABP≌△PNF，
∴FN=BP=x．

過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CD于點(diǎn)M，由CF為角平分線，可知MCNF為正方形，
∴MC=MF=FN=BP=x，
∴MG=MD-DG=CD-MC-DG=2-x-y．
∵M(jìn)F∥AD，
∴△ADG∽△FMG，
∴

AD

MF

=

DG

MG

，即

2

x

=

y

2-x-y

，
解得：y=

4-2x

x+2

（0≤x≤2）．

（3）解：解析式變化．理由如下：
如答圖3，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥CE于點(diǎn)N，則易證△ABP≌△PNF，
∴FN=BP=x．

過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CD于點(diǎn)M，由CF為角平分線，可知MCNF為正方形，
∴MC=MF=FN=BP=x，
∴MG=MC-DG-CD=x-y-2．
∵M(jìn)F∥AD，
∴△ADG∽△FMG，
∴

AD

MF

=

DG

MG

，即

2

x

=

y

x-y-2

，
解得：y=

2x-4

x+2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形、角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，題目難度不大，重點(diǎn)是對(duì)幾何基礎(chǔ)知識(shí)的考查．