Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²-2x-3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)D位拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是第四象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合）．
（1）求∠OBC的度數(shù)；
（2）連接CD，BD，DP，延長(zhǎng)DP交x軸正半軸于點(diǎn)E，且S_△OCE=S_{四邊形OCDB}，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線已知，則可求三角形OBC的各個(gè)頂點(diǎn)，易知三角形形狀及內(nèi)角．
（2）因?yàn)閽佄锞�已固定，則S_{四邊形OCDB}固定，對(duì)于坐標(biāo)系中的不規(guī)則圖形常用分割求和、填補(bǔ)求差等方法求面積，本圖形過頂點(diǎn)作x軸的垂線及可將其分為直角梯形及直角三角形，面積易得．由此可得E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求ED直線方程，與拋物線解析式聯(lián)立求解即得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵y=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
∴由題意得，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）．
在Rt△OBC中，
∵OC=OB=3，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°．

（2）如圖1，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，

此時(shí)S_{四邊形OCDB}=S_梯形OCDH+S_△HBD，
∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，
∴S_梯形OCDH=$\frac{1}{2}$•（OC+HD）•OH=$\frac{7}{2}$，
S_△HBD=$\frac{1}{2}$•HD•HB=4，
∴S_{四邊形OCDB}=$\frac{15}{2}$．
∴S_△OCE=S_{四邊形OCDB}=$\frac{15}{2}$=$\frac{1}{2}$•OC•OE，
∴OE=5，
∴E（5，0）．
設(shè)l_DE：y=kx+b，
∵D（1，-4），E（5，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-4}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴l(xiāng)_DE：y=x-5．
∵DE交拋物線于P，設(shè)P（x，y），
∴x²-2x-3=x-5，
解得 x=2 或x=1（D點(diǎn)，舍去），
∴x_P=2，代入l_DE：y=x-5，
∴P（2，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法求直線解析式、直角三角形性質(zhì)及割補(bǔ)法求四邊形的面積、直線和拋物線交點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵．