Question

13．如圖，△ABC中，AB=15，AC=13，點D是BC上一點，且AD=12，BD=9，點E、F分別是AB、AC的中點，則△DEF的周長是21．

Answer 1

分析 可先判定△ABD為直角三角形，再利用勾股定理可求得CD，由三角形中位線定理可求得EF，再根據(jù)直角三角形的性質可分別求得DE和DF，可求得答案．

解答 解：
∵AB=15，AD=12，BD=9，
∴AD²+BD²=AB²，
∴△ABD和△ACD為直角三角形，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∴BC=BD+CD=9+5=14，
∵E、F分別為AB、AC的中點，
∴EF為△ABC的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=7，
在Rt△ABD中，E為AB的中點，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{15}{2}$，
同理DF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{13}{2}$，
∴△DEF的周長=7+$\frac{15}{2}$+$\frac{13}{2}$=21，
故答案為：21．

點評 本題主要考查三角中位線定理及直角三角形的判定和性質，由勾股定理的逆定理證得△ABD為直角三角形是解題的關鍵．