Question

如圖，六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為r（常數(shù)）的⊙O，其中AD為直徑，且AB=CD=DE=FA.

（1）當(dāng)∠BAD=75°時(shí)，求的長；

（2）求證：BC∥AD∥FE；

（3）設(shè)AB=，求六邊形ABCDEF的周長L關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出為何值時(shí)，L取得最大值.

Answer 1

解：(1)連結(jié)OB．OC，由∠BAD=75°，OA=OB知∠AOB=30°，

∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30°，∴∠BOC=120°，

故的長為．

(2)連結(jié)BD，∵AB=CD，∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD，

同理EF∥AD，從而BC∥AD∥FE．

(3)過點(diǎn)B作BM⊥AD于M，由(2)知四邊形ABCD為等腰梯形，從而

BC=AD-2AM=2r-2AM．

∵AD為直徑，∴∠ABD=90°，易得△BAM∽△DAB

∴AM==，∴BC=2r-，同理EF=2r-

∴L=4x+2(2r-)==，其中0＜x＜

∴當(dāng)x=r時(shí)，L取得最大值6r．