Question

如果兩個多邊形的每個對應角相等，每條對應邊成比例，那么我們就稱這兩個多邊形相似，相似的兩個矩形中心重合，如圖放置在第一象限，他們的長（較長邊）與寬（較短邊）之比為k，且他們的長與寬分別與x軸和y軸平行，直線y=mx+n（m＞0）分別交兩個矩形的邊于點P，Q，M，N，則線段PQ與MN之比為

 

．（用k，m，n表示）

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：壓軸題

分析：分別過點N、P作矩形的邊的垂線NA、PB，設外面矩形的寬為a，里面矩形的寬為b，然后表示出NA、PB，再根據直線解析式表示出MA、QB，然后利用勾股定理表示出PQ，MN，再求出即可．

解答：解：如圖，過點N、P作矩形的邊的垂線NA、PB，
設外面矩形的寬為a，里面矩形的寬為b，
∵兩矩形的中心重合，
∴NA=

1

2

（a-b），PB=

1

2

（ka-kb），
∵直線解析式為y=mx+n，
∴MA=

1

2m

（a-b）、QB=

m

2

（ka-kb），
由勾股定理得，PQ=

PB2+QB2

=

[ 1 2 (ka-kb)]2+[ m 2 (ka-kb)]2

=

k(a-b)

2

m2+1

，
MN=

MA2+NA2

=

[ 1 2m (a-b)]2+[ 1 2 (a-b)]2

=

1

2

（a-b）

m2+1

m

，
所以，PQ：MN=

k(a-b)

2

m2+1

：

1

2

（a-b）

m2+1

m

=mk．
故答案為：mk．

點評：本題是一次函數綜合題型，主要利用了矩形的性質，勾股定理，難點在于理解一次函數的比例系數的意義，關鍵在于作輔助線構造出直角三角形并利用比例系數m表示出直角三角形的邊．