Question

（1）因式分解：①a²-2ab+b²=

 

；②x²-4x+4=

 

；③y²+6y+9=

 

；
（2）利用作差法可以進(jìn)行比較，如：若a-b＞0，則a＞b，若a-b=0，則a=b，若a-b＜0，則a＜b，根據(jù)上述知識(shí)解答：①求證：a²+b²≥2ab，②求證：x²+y²+6y≥4x-13；
（3）利用（1）、（2）得到的解題體會(huì)回答下題：如圖，有一塊直徑為2a+2b的圓形鋼板（a＞b）．方案一：如圖中挖去直徑分別為2a、2b的兩個(gè)圓，方案二：如圖中挖去兩個(gè)直徑為a+b的圓，設(shè)方案一、方案二的剩下鋼板的面積分別為M、N
①分別求兩方案中剩下的鋼板的面積（用字母a、b表示）；
②比較剩下鋼板的面積的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用

專(zhuān)題：

分析：（1）利用完全平方公式進(jìn)行因式分解；
（2）①利用完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到：（a-b）²≥0，利用作差法易證得結(jié)論；
②利用完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到：（x-2）²+（y+3）²≥0，利用作差法易證得結(jié)論；
（3）①所剩鋼板的面積=大圓面積-兩個(gè)小圓的面積；
②利用（2）中的方法來(lái)比較它們的大�。�

解答：（1）解：①a²-2ab+b²=（a-b）²；②x²-4x+4=（x-2）²；③y²+6y+9=（y+3）²；
故答案是：（a-b）²；（x-2）²；（y+3）²；

（2）證明：①∵（a-b）²≥0，
∴a²+b²-2ab≥0，
∴a²+b²≥2ab；
②∵（x-2）²+（y+3）²≥0，
∴x²-4x+4+y²+6y+9≥0，即x²+y²+6y-（4x-13）≥0，
∴x²+y²+6y≥4x-13；

（3）解：①方案一：所剩鋼板的面積=π（a+b）²-πa²-πb²=2πab；
方案二：所剩鋼板的面積=π（a+b）²-2×π（

a+b

2

）²=

π(a+b)2

2

；
②∵a²+b²≥2ab，
∴

a2+b2

2

≥ab，
∴

a2+b2

2

-ab≥0，
∴

π(a+b)2

2

-2πab=π（

a2+b2

2

-ab）≥0．
∴

π(a+b)2

2

≥2πab，
∴方案二所剩鋼板的面積不小于方案一所剩鋼板的面積．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了因式分解的應(yīng)用，解答（2）、（3）中所提及的“作差法”，在初中階段，是比較大小的常用方法．